第一節(jié)　集中趨勢(shì)指標(biāo)

　　平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用最廣泛、最重要的一個(gè)指標(biāo)體系。常用的有算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)三個(gè)指標(biāo)。它們用于描述一組同質(zhì)計(jì)量資料的集中趨勢(shì)或反映一組觀察值的平均水平。

　　一、算術(shù)均數(shù)（arithmetic mean)

　　簡(jiǎn)稱(chēng)對(duì)數(shù)（mean)。習(xí)慣上以表示樣本均數(shù)，以希臘字母μ表示總體均數(shù)。均數(shù)適用于對(duì)稱(chēng)分布，特別是正態(tài)或近似正態(tài)分布的計(jì)量資料，其計(jì)算方法有：

　�。ㄒ�)直接法

　　當(dāng)樣本的觀察值個(gè)數(shù)不多時(shí)，將各觀察值X1，X2，……，Xn相加再除以觀察值的個(gè)數(shù)n（樣本含量)即得均數(shù)。其公式為：

　　公式（18.1)

　　式中，希臘字母Σ（讀作sigma)是求和的符號(hào)。

　　例18.1 某地11名20歲健康男大學(xué)生身高（cm)分別為174.9,173.1, 171.8,179.0,173.9,172.7,166.2,170.8,171.8,172.1,168.5。試計(jì)算其均數(shù)。

　�。ǘ�)加權(quán)法

　　當(dāng)觀察值個(gè)數(shù)較多時(shí)，可先將各觀察值分組歸納成頻數(shù)表，用加權(quán)法求均數(shù)。其計(jì)算步驟如例18.2。

　　例18.2 某地1993年隨機(jī)測(cè)量了該地110名20歲健康男大學(xué)生的身高(cm)，資料如下，試計(jì)算其均數(shù)。

　　1.編制頻數(shù)表

　�。�1)求全距（range)：找出觀察值中的最大值（183.5)和最小值（162.9)，它們的差值即全距，常用R表示。本例R=20.6。

　�。�2)定組距和組段：相鄰兩組的最小值之差稱(chēng)組距，常用i表示，各組距可相等，也可不相等，一般用等距。常取全距的1/10，取整作組距。本例全距的1/10為2.06，取整為2，用等距共劃分11個(gè)組段。第一組段應(yīng)包括資料中最小值，最末組段應(yīng)包括最大值，一般要求組段的起點(diǎn)為較整齊的數(shù)。本例第一組段的起點(diǎn)（即下限)取162，其止點(diǎn)（即上限)為第二組段的起點(diǎn)即164，然后每一組距（本例為2)就成為一組段，最末組段應(yīng)同時(shí)寫(xiě)出下限和上限，本例為182～184。

　�。�3)列表劃記：按上述的組段序列排列制表，用正字劃記法將例18.2中的數(shù)據(jù)歸納到各組段中，最后清點(diǎn)出頻數(shù)得頻數(shù)表，表18-1中的第（2)、（3)欄。

表18-1 110名20歲健康男大學(xué)生身高(cm)的頻數(shù)分布

　　由頻數(shù)表的頻數(shù)分布可看出兩個(gè)重要特征：集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)。集中趨勢(shì)即頻數(shù)分布向中央部分集中；離散趨勢(shì)即頻數(shù)分布由中央到兩側(cè)逐漸減少。頻數(shù)分布可為①對(duì)稱(chēng)分布或近似正態(tài)分布，即集中位置在正中，兩側(cè)頻數(shù)分布大致對(duì)稱(chēng)，如表18-1；②偏態(tài)分布，即集中位置偏向一側(cè)，頻數(shù)分布不對(duì)稱(chēng)，若集中位置偏向數(shù)值小的一側(cè)，為正偏態(tài)分布；若集中位置偏向數(shù)值大的一側(cè)，為負(fù)偏態(tài)分布。不同類(lèi)型的分布，應(yīng)采用相應(yīng)描述指標(biāo)和統(tǒng)計(jì)分析方法。

　　2．計(jì)算公式

　　公式（18.2)

　　式中，k為組段數(shù)；f1,f2,……,fk分別為各組段的頻數(shù)；X1，X2，……，Xk分別為各組段的組中值，組中值為本組段的下限與相鄰較大組段的下限相加除以2，如“162-”組段的組中值X1=（162+164)/2=163，余仿此。

　　3．列計(jì)算表（表18-2)計(jì)算均數(shù)

　　110名20歲健康男大學(xué)生身主的均數(shù)為172.73(cm)。

　　二、幾何均數(shù)（geometric mean)

　　用G表示。常用于等比級(jí)數(shù)資料和對(duì)數(shù)對(duì)稱(chēng)分布，尤其是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的計(jì)量資料。對(duì)數(shù)正態(tài)分布即原始數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布，經(jīng)對(duì)數(shù)變換后（用原始數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)值lgX代替X)服從正態(tài)分布。其計(jì)算方法有：

表18-2 110名20歲健康男大學(xué)生身高（cm)均數(shù)的計(jì)算表（加權(quán)法)

　　（一)直接法

　　當(dāng)觀察值個(gè)數(shù)n不多時(shí)，直接將n個(gè)觀察值（X1，X2，……Xn)的乘積開(kāi)n次方。其計(jì)算公式為：

　　公式（18.3)

　　其對(duì)數(shù)形式：

　　公式（18.4)

　　例18.3 設(shè)有6份血清的抗體效價(jià)為1：10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160。求其平均效價(jià)。

　　本例可將各抗體效價(jià)的倒數(shù)代入公式（18.4)，求平均效價(jià)數(shù)的倒數(shù)。

　　該6份血清的平均抗體效價(jià)為1:45。

　�。ǘ�)加權(quán)法

　　當(dāng)觀察值個(gè)數(shù)n較多時(shí)，先將觀察值分組歸納成頻數(shù)表，再用公式（18.5)計(jì)算。

　　公式（18.5)

　　式中，X為各組段的效價(jià)或滴度的倒數(shù)（等比級(jí)數(shù)資料時(shí))或各組段的組中值（對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料時(shí))；f 為各組段所對(duì)應(yīng)頻數(shù)。

　　例18.430名麻疹易感兒童接種麻疹疫苗一個(gè)月后，血凝抑制抗體滴度如表18-3第（1)、（2)欄，試求其平均抗體滴度。

　　30名麻疹易感兒童免疫后的平均血凝抑制滴度為1:48.5。

　　三、中位數(shù)（median)

　　中位數(shù)是一組按大小順序排列的觀察值中位次居中的數(shù)值，用M表示。它常用于描述偏態(tài)分布資料的集中趨勢(shì)。中位數(shù)不受個(gè)別特小或特大觀察值的影響，特別是分布末端無(wú)確定數(shù)據(jù)不能求均數(shù)和幾何均數(shù)，但可求中位數(shù)。計(jì)算方法有：

表18-3 平均抗體滴度計(jì)算表

　�。ㄒ�)直接法

　　當(dāng)n較小時(shí)，可直接由原始數(shù)據(jù)求中位數(shù)。先將觀察值由小到大按順序排列，再按公式（18.6)或公式（18.7)計(jì)算。

　　公式（18.6)

　　(n為偶數(shù)時(shí))　      公式（18.7)

　　式中，n 為觀察值的總個(gè)數(shù)，X的右下標(biāo)(n+1/2)、（n/2)、和（n/2+1)為有序數(shù)列中觀察值的位次，X(n+1/2)、X（n/2)和X（n/2+1)為相應(yīng)位次上的觀察值。

　　例18.5 某病患者9名，其發(fā)病的潛伏期順序?yàn)?，3，3，3，4，5，6，9，16天，求中位數(shù)。

　　本例n=9，為奇數(shù)，按公式（18.6)計(jì)算

　　若上例在第20天又發(fā)現(xiàn)一例患者，則患者數(shù)增為10名，n為偶數(shù)，按公式（18.7)計(jì)算

　�。ǘ�)頻數(shù)表法

　　當(dāng)n較大時(shí)，先將觀察值分組歸納成頻數(shù)表，再按組段由小到大計(jì)算累計(jì)頻數(shù)和累計(jì)頻率。如表18-4中的（3)、（4)兩欄，然后按公式（18.8)計(jì)算。

　　公式（18.8)

　　式中，L為中位數(shù)（即累計(jì)頻率為50%)所在組段的下限；i為該組段的組距；f為該組段的頻數(shù)；ΣfL為小于L的各組段的累計(jì)頻數(shù)；n為總例數(shù)。

　　例18.6 求表18-4中數(shù)據(jù)的中位數(shù)

表18-4 164名食物中毒潛伏期的中位數(shù)和百分位數(shù)*計(jì)算表

　　*百分位數(shù)的意義與計(jì)算見(jiàn)后面的[附].

　　由表18-4可見(jiàn)，50%在“12～”組段內(nèi)，則L=12，i=12,f=58,ΣfL=25,n=164,按式（18.8)計(jì)算

　　M=L+i/f(n/2-ΣfL)=12+12/58(164/2-25)=23.8(小時(shí))

　　[附]百分位數(shù)：百分位數(shù)是一個(gè)位置指標(biāo)，用Px表示。當(dāng)P1，P2，……，P98，P99確定后，一個(gè)由小到大的有序數(shù)列即被分為100等份，各含1%的觀察值。百分位數(shù)常用于描述一組偏態(tài)分布資料在某百分位置上的水平及確定偏態(tài)分布資料的醫(yī)學(xué)正常值范圍。第50百分位數(shù)（P50)也就是中位數(shù)，所以，中位數(shù)也是一個(gè)特定的百分位數(shù)。計(jì)算百分位數(shù)用公式（18.9)

　　Px＝Ｌ＋i/fx（n.x%-ΣfL)公式（18.9)

　　式中，L、i、fx分別為Px所在組段的下限、組距和頻數(shù)；ΣfL為小于L的各級(jí)段的累計(jì)頻數(shù)。

　　例18.7 求表18-4中數(shù)據(jù)的P95。

　　求P95時(shí)，x=95，即累計(jì)頻率為95%所在組段。本例為“48～”組段，則L=48，i=12，fx=12，ΣfL=146，n=164，代入公式（18.9)

　　P95=48+12/12（164×95%-146)=57.8（小時(shí))