X2檢驗

　　X²（稱卡方)檢驗用途較廣，但主要用于檢驗兩個或兩個以上樣本率或構成比之間差別的顯著性，也可檢驗兩類事物之間是否存在一定的關系。

　　一、兩個率的比較

　　（一)X²檢驗的基本公式　下頁末行的例3.1是兩組心肌梗塞病人病死率的比較，見表3.5，其中對照組未用抗凝藥。兩組病人的病死率不同，抗凝藥組為25.33%，對照組為40.8%。造成這種不同的原因可能有兩種：一種是僅由抽樣誤差所致；另一種是兩個總體病死率確實有所不同。為了區(qū)別這兩種情況，應當進行X²檢驗。其基本步驟如下：

　　1．首先將資料寫成四格表形式，如表3.6。

　　將每個組的治療人數分為死亡與生存兩部分，各占四格表中的一格，這些數字稱為實際頻數，符號為A，即實際觀察得來的數字。

　　2.建立檢驗假設　為了進行檢驗，首先作檢驗假設：兩種療法的兩總體病死率相等，為35%（即70/200)，記為H₀：π₁=π₂。即不論用或不用抗凝藥，病死率都是35%，所以亦可以換一種說法：病死率與療法無關。

　　上述假設經過下面步驟的檢驗后，可以被接受也可以被拒絕。當H₀被拒絕時，就意味著接受其對立假設即備擇假設H₁。此例備擇假設為兩總體病死率不相等，記為H₁：π₁≠π₂

　　因為我們觀察的是隨機現象，所以無論是接受或拒絕H₀都冒有一定風險，即存在著錯判的可能性。一般要求，當錯誤地被拒絕的概率α不超過一定的數值，如5%（或0.05)，此值稱為檢驗水準，記為α=0.05。

　　3．計算理論頻數　根據“檢驗假設”推算出來的頻數稱理論頻數，符號為T。計算方法如下：假設兩總體病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血組治療75人，其死亡的理論頻數應為75×35.0%=26.25人，而生存的理論頻數為75-26.25=48.75人。用同樣方法可求出對照組的死亡與生存的理論頻數，前者為43.75人。后者為81.25人。 然后，把這些理論頻數填入相應的實際頻數格內，見表3.6括號內數字。

　　計算理論頻數也可用下式（3.4)

　　T_RC=n_Rn_C/N (3.4)

　　式中，T_RC為R行與C列相交格子的理論頻數，n_R為與計算的理論頻數同行的合計數，n_C為與該理論頻數同列的合計數，N為總例數。

　　例如；表3.6第一行與第一列相交格子的理論頻數（T_1１)為

　　T_1１＝ 75×70/200=26.25

　　用兩種方法計算，結果是相同的。

　　4．計算χ²值，計算χ²值的基本公式為：

　　X²=∑（A-T)²/t �。�3.5)

　　式中，A為實際頻數，T為理論頻數，∑為求和符號。

　　將表3.6里的實際頻數與理論頻數代入式（3.5)即求得χ²值。此例χ²=4.929。

　　從式3.5中可看出，實際頻數與理論頻數之差（A-T)愈小，所得的χ²值就愈小，理論頻數是根據檢驗假設推算出來的，若與實際頻數相差不大，說明假設與實際情況符合，于是就接受H₀，認為兩病死率無顯著差別；反之，若（A-T)大，則χ²值亦大，說明假設與實際不符，就拒絕假設，認為兩病死率有差別。但χ²值大還是小，要有一個比較的標準，要查χ²值表（附表1)，查χ²值表前先要定自由度。

　　5．求自由度　自由度是數學上的一個名詞。在統計中，幾個數據不受任何條件（如統計量，即樣本特征數)的限制，幾個數據就可以任意指定，稱為有幾個自由度。若受到P個條件限制，就只有n-p個自由度了。例如在四格表中有四個實際頻數，如沒有任何條件限制，則4個數字都可任意取值，有4個自由度，當a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四個實際頻數中，只能有一個頻數可任意指定了，因此，四格表的自由度為1。其計算公式為：

　　ν=（R-1)（C-1) （3.6)

　　式中，ν為自由度，R為橫行數，C為縱列數。

　　四格表有2行和2列（注意：總計與合計欄不算在內)。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

　　6．求P值，作結論　根據自由度查χ²值表（附表1)。此表的左側ν為自由度，表內數字χ²值，表的上端P是從同一總體中抽得此樣本χ²值的概率。三者關系是：在同一自由度下，χ²值越大，從同一總體中抽得此樣本的概率P值越��；在同一P值下，自由度越大，χ²值也越大。χ²值與概率P呈相反的關系。χ²檢驗的常用界值為：

　　χ²<χ²_0.05（)P>0.05 在α=0.05水準處接受H₀，差別不顯著

　　χ²_0.05≤χ²<χ²_0.01()0.05≥P>0.01 在α=0.05水準處拒絕H_O，接受H₁，差別顯著

　　χ²≥χ²_0.01（)P≤0.01 在α=0.01水準處拒絕H_O，接受H₁，差別顯著

　　這里α是預定的檢驗水準。χ²_0.05（)是當自由度為ν時與P=0.05相對應的χ² 值，簡稱5%點，χ²_0.01（)是與P=0.01相對應的χ² 值，簡稱1%點。

　　當ν=1時，χ²_0.05（1)3.84，χ²_0.01（1)=6.63。本例自由度為1，求得χ²=4.929,介于3.84與6.63之間，或寫成χ²_0.05（1)<χ²<χ²_0.01（1)。由于與3.84對應的縱行P=0.05，與6.63對應的縱行P=0.01，因此與樣本χ²=4.929相應的概率介于0.05與0.01之間，寫成0.05>P>0.01。在α=0.05水準處拒絕H₀，接受H₁，兩總體率不等。對照組的病死率較抗凝血組高。

　　在α=0.05水準處拒絕H₀，說明若在同樣情況下作100次判斷，將有5次或不到5次的機會，將原沒有差別的兩總體率錯判為有差別，或說這樣判斷犯I型錯誤的概率不超過5%。

　　下面將實例的檢驗步驟集中列出。

　　例3.1　兩組心肌梗塞病人的病死率可見于表3.5，其中對照組未用抗凝藥�？鼓�血組病死率為25.33%，對照組為40.80%，問兩組病死率有無顯著差別？

表3.5　兩組心肌梗塞病人病死率比較

　　檢驗步驟如下：

　　1．將資料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式樣

　　2．H₀：兩療法的總體病死率相同，即_π1=_π2

　　H₁：兩療法的總體病死率不同，即_π1≠_π2

　　α=0.05

　　3．求理論頻數

　　抗凝血組：

　　死亡人數為75×35.0%=26.25人

　　存活人數為 75-26.25=48.75人

　　對照組：

　　死亡人數為125×35.0%=43.75人

　　存活人數為 125-43.75=81.25人

　　把理論頻數填入相對應的實際頻數格內，見表3.6括號內數字。

　　4．求χ²值 將表3.6里的數值代入式（3.5)得，

　　5．求自由度，確定P值，作結論

　　ν=（2-1)（2-1)=1，χ² _0.05（1)=3.84,χ² _0.01（1)=6.63,

　　本例χ² =4.929,χ² _0.05（1)<χ² <χ² _0.01（1)，則0.05>P>0.01，在α=0.05水準處拒絕H₀，接受H₁，即兩總體病死率不等，對照組病死率較抗凝血組高。

　　上例告訴我們，兩個樣本病死率一大一小，在未作檢驗之前，很難說它們兩總體率是否有差別，為了作出正確判斷，作X²檢驗。先假設兩總體病死率相同，推算理論頻數，由實際頻數與理論頻數計算χ²值，二者相差越大，χ²值也越大。本例得χ²=4.929，根據自由度為1時的χ²分布推斷，從同一總體內抽樣，出現χ²值等于或大于4.929的概率較小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此檢驗假設被拒絕，而判斷為有顯著差別。

　　（二)連續(xù)性校正公式　χ²檢驗是以連續(xù)的光滑曲線做根據的，當自由度為1時，χ²檢驗所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ²值比不校正的小一些，校正公式是：

　　 （3.7)　

　　公式中A-T前后兩條直線是絕對值的符號。

　　將表3.5資料代入式（3.7)得：

　　檢驗兩個率相差的顯著性時（此時自由度為1)，理論上都可用校正公式。但當用公式（3.5)求出的χ²值小于3.84時，相應的P值大于0.05，表示兩個率相差不顯著，校正后χ²值更小，仍得同樣結構，就無須校正；當用未校正公式求出的χ²值遠遠超過3.84時，校正后的結論仍相同，在此種情況下也可不校正；當自由度為2及以上時，則不必校正。

　　當用公式（3.5)求出的χ²值略大于3.84時，校正最為必要，往往會改變原來的結論，舉例如下。

　　例3.2表3.7是六六六粉的兩種配方進行野外煙劑滅黃鼠實驗的觀察結果。

表3.7　六六六粉兩種配方滅黃鼠的效果

　　現用公式（3.5)及式（3.6)分別計算χ²值如下：

　　校正后的χ²值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水準處接受H₀，認為兩種配方滅黃鼠效果無顯著差異，這相結論是比較合理的，如果不經校正就會得出錯誤的結論。

　�。ㄈ�)四格表中求χ²的專用公式　用上述基本公式（3.5)求χ²值，需要求出與實際頻數一一對應的理論頻數，運算較繁。在四格表中，用下列專用公式較為簡便。

　（3.8)

　　式中a、b、c、d為四格表中的實際頻數，N表示總例數（即N=a+b+c+d)。

　　現仍以表3.5資料為例，先寫成四格表形式，如表3.8。

表3.8　四格表求χ²值專用公式的符號

　　將實際頻數代入式（3.8)得，

　　這里用專用公式求得的χ²值與前面用基本公式求得的結果完全不同，有時這兩個公式求得的結果小數點后幾位可能稍有出入，這是由于受小數四舍五入的影響。

　　前面已介紹了連續(xù)性校正公式（3.7)，為使運算更為簡便，下面列出專用公式的連續(xù)性校正公式（3.9)，并以表3.8資料代入計算如下：

（3.9)

　　所得結果與式(3.7)求得的一致。

　　二、多個率或多個構成比的比較

　�。ㄒ�)2×K表的專用公式，前面已討論了，兩個率的比較用四格表專用公式計算χ²值較為簡便。如果是多個率比較，就要列成2×K表。這里的K暫為所比較的組數，2為每個組內所劃分的類型數。求χ²值時本可用基本公式計算，但以用下列專用公式為便：

　　　　　　　　　　　　 （3.10) （3.11)

　　　　　　　　表3.9　2×K表形式之一

　　公式中符號的意義參閱表3.9，以上兩個公式的計算結果是完全一樣的。

　　例3.3 某地觀察磺胺三甲氧吡嗪加增效劑（吡嗪磺合劑)預防瘧疾復發(fā)的效果，用已知有抗瘧疾復發(fā)效果的乙胺嘧啶和不投藥組作對照，比較三組的瘧疾復發(fā)率，資料如表3.10，問三組復發(fā)率有無顯著差別？

表3.10　三個組的瘧疾復發(fā)率

　　χ²檢驗步驟如下：

　　1．將表3.10資料寫成2×K表形式，見表3.11。注意：這里必須把各組的觀察例數分為復發(fā)和未復發(fā)兩部分，這樣表3.10就為寫成2×3表。

表3.11　三個組瘧疾復發(fā)率的比較

　　2．H₀：三個總體復發(fā)率相同

　　H_１：三個總體復發(fā)率不全相同

　　α=0.05

　　3．求χ²值 將表3.11的數值代入式（3.10)（因為在表3.11中，各組的a值較小，計算較方便)得：

　　4．求自由度，確定P值，作結論

　　ν=（K-1)（2-1)=（3-1)（2-1)=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21，本例χ²=39.92>χ²_0.01(2)，P<0.01,在α=0.05的水準處拒絕H₀，接受H₁，即三個組的復發(fā)率有顯著差別。

　　本例的結論是三個組的復發(fā)率有顯著差別，因此，還需進一步說明三組中那兩組有差別，可用四格表對每兩個率進行假設檢驗。本例的檢驗結果是：吡嗪磺合劑與對照組比（P<0.01)，乙胺嘧啶組與對照組比（P<0.01)，而吡嗪磺合劑與乙胺嘧啶比（P>0.05)，說明吡嗪磺合劑有預防瘧疾復發(fā)的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

　　本例2×K表的2是指得發(fā)、未復發(fā)兩項，K為比較的組數，K=3。如果比較組數只有2，而構成每組的項數則多于2，如甲狀腺腫的型別構成可分為彌漫型、結節(jié)型、混合型三種。這類資料亦同樣可用2×K表專用公式進行檢驗。這時把2作為比較組數，K作為項數，檢驗方法同上，表3.12是2×K表的另一種形式。

表3.12　2×K表形式之二

　　例3.4，為研究不同地域甲狀腺型別的構成有無顯著差別，某省對兩個縣的居民進行甲狀腺腫調查，得資料如表3.13，問甲乙兩縣各型甲狀腺腫患者構成比有無顯著判別？

表3.13　某省甲乙兩縣甲狀腺腫患者型別構成比較

　　檢驗步驟如下：

　　1．H₀：兩總體甲狀腺腫型別構成相同

　　H_1：兩總體甲狀腺腫型別構成不同

　　α=0.05

　　2．求χ²值， 將表3.13中的數值代入式3.10得：

　　3．求自由度，確定P值，作結論。

　　ν=（3-1)（2-1)=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21,本例，χ²=494.36，P<0.01,在α=0.05水準處拒絕H₀，接受H₁，甲、乙兩縣甲狀腺腫型別構成有差別（P<0.01)。甲縣以彌漫型為主，而乙縣結節(jié)型較多，地域與患者的型別構成具有一定的關系。

　　此類資料經χ²檢驗作結論，如果不顯著，說明兩組資料的構成比來自同一總體，沒有顯著差別。如果結論顯著，說明兩組的構成比來自不同總體，差別有顯著性。同時要指出兩組構成的主要區(qū)別。

　　（二)R×C表的通用公式當資料的行數和列數都超過2時稱R×C表。對此種資料作假設檢驗時，可用基本公式（3.5),但運算較繁，如果用R×C表的通用公式計算χ²值，較為簡便。

　　　　　　　　　　　　　 （3.12)

　　式中，A_ij為i行第j列的實際頻數，n_i為第i行的合計數，n_j為第j行列的合計數，N為總頻數。

　　這個公式也系由基本公式（3.5)推導出來，式（3.12)也可用以求四格表、2×K表資料的X²值，故稱通用公式，用此公式不需計算理論頻數，與基本公式（3.5)相比，較為簡便。

　　例3.5某院肝膽外科在手術中觀察了膽結石的部位與類型得資料如表3.14,試分析兩者間有無關系存在？

表3.14　膽結石類型與部位的關系

　　檢驗步驟如下：

　　1．將表3.14資料寫成R×C表形式，見表3.15.

表3.15　膽結石類型與部位的關系

　　2．H₀：膽結石的類型與部位沒有關系

　　H₁：膽結石的類型與部位有關系

　　α=0.01

　　3．求χ²值 將表3.15數值代入式（3.12)得：

　　4．求自由度，確定P值，作結論。

　　ν=（3-1)（3-1)=4，查χ²值表得χ²_0.01(4)=13.28，本例χ²=64.06<χ²_0.01。在α=0.01水準處拒絕H₀，接受H₁，膽結石類型與部位有顯著關系存在（P<0.01),膽囊內以膽固醇結石居多，肝內、外膽管以膽紅素結石為主。